Szakdolgozati témáink

  • Tipikus függvények, mértékek irregularitási tulajdonságai

    Témavezető:Buczolich Zoltán A téma rövid leírása:

    A tipikus folytonos függvények Hölder spektrumát és momentum összegeit vizsgáló cikk és annak előzményeit tartalmazó cikkek anyagának megértése és átgondolása után esetleg önálló kutatómunkába is kezdhet, mivel számos további kérdés vethető fel. A kutatás iránt érdeklődő szakdolgozó szakdolgozatát sikeres problémamegoldások esetén később esetleg TDK dolgozatban, illetve önálló kutatómunkában is folytathatja.

    Javasolt irodalom:


     *  J. Genyuk, A typical measure typically has no local dimension, Real Anal. Exchange, 23(2), 1997/8, 525-538.
     *  T. Zamfirescu, Most monotone functions are singular, Amer. Math. Monthly, 88 (1) (1981), 47--49.
     *  T. Zamfirescu, Typical monotone continuous functions, Arch. Math., 42 (1984), 151--156.,
     *  Z. Buczolich and J. Nagy, H\"older spectrum of typical monotone continuous functions, Real Analysis Exchange, 26 (2000/01), no. 1, 133-156.
     *  Buczolich, Zoltán; Seuret, Stéphane Multifractal spectrum and generic properties of functions monotone in several variables. J. Math. Anal. Appl. 382 (2011), no. 1, 110–126.
     *  Buczolich, Zoltán; Seuret, Stéphane Multifractal properties of typical convex functions. Monatsh. Math. 187 (2018), no. 1, 59–78.
     *  Buczolich, Zoltán Multifractal properties of convex hulls of typical continuous functions. Recent developments in fractals and related fields, 71–86, Trends Math., Birkhäuser/Springer, Cham, 2017.
     *  Buczolich, Zoltán; Seuret, Stéphane Homogeneous multifractal measures with disjoint spectrum and monohölder monotone functions. Real Anal. Exchange 40 (2014/15), no. 2, 277–289

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Bsc, alkalmazott matematikus
  • Mérték, topológia és fraktál geometria

    Témavezető:Buczolich Zoltán A téma rövid leírása:

    G. A. Edgar Measure Topology and Fractal Geometry című könyvéből egy vagy több fejezet anyagának feldolgozása esetleg kitekintés friss folyóiratcikkekben leírt eredményekre. Témakörök: Példák fraktálokra, metrikák, topologikus dimenzió, önhasonlóság, mértékelmélet, Hausdorff dimenzió. A szakdolgozónak az új fogalmak megértésén és feldolgozásán kívül feladatmegoldásra, animációk/illusztrációk készítésére, megfelelő informatikai háttér esetén programírásra és példák kidolgozására van lehetősége.

    Javasolt irodalom:


     *  Edgar, Gerald A. Measure, topology, and fractal geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1990.
     *  Previte, Michelle; Yang, Sean A novel way to generate fractals. Amer. Math. Monthly 115 (2008), no. 1, 13--32.
     *  Schleicher, Dierk Hausdorff dimension, its properties, and its surprises. Amer. Math. Monthly 114 (2007), no. 6, 509--528.
     *  Devaney, Robert L. The Mandelbrot set, the Farey tree, and the Fibonacci sequence.
    Amer. Math. Monthly 106 (1999), no. 4, 289--302.
     *  Halmos, Paul R. Large intersections of large sets. Amer. Math. Monthly 99 (1992), no. 4, 307–312.
     *  Yao, Yuanyuan; Li, Wenxia Generating iterated function systems for the Vicsek snowflake and the Koch curve. Amer. Math. Monthly 123 (2016), no. 7, 716–721.
     *  Goffinet, Daniel Number systems with a complex base: a fractal tool for teaching topology. Amer. Math. Monthly 98 (1991), no. 3, 249–255.

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikai elemző Bsc, matematika tanár
  • Dinamikai rendszerek, szimbolikus dinamika, periodikus pontok, bifurkációk, kaotikus viselkedés

    Témavezető:Buczolich Zoltán A téma rövid leírása:

    A címben megjelölt témakörbe eső könyvfejezetek, folyóiratcikkek feldolgozása, feladatmegoldás, animációk készítése esetleg programozási/prezentációs feladat megoldása vár a szakdolgozóra. A témakör különösen ajánlott az elemző Dinamikai rendszerek előadás hallgatóinak, de mások is megpróbálkozhatnak vele.

    Javasolt irodalom:


     *  B. Hasselblatt, A. Katok: A first course in dynamics. With a panorama of recent developments. Cambridge University Press, New York, 2003.
     *  A. Katok, B.Hasselblatt: Introduction to the modern theory of dynamical systems. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 54. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
     *  Robert L. Devaney: An introduction to chaotic dynamical systems. Second edition. Addison Wesley Studies in Nonlinearity. Addison Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989.
     *  D. Lind, B. Marcus, An introduction to symbolic dynamics and coding. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
     *  Alligood, Kathleen T.; Sauer, Tim D.; Yorke, James A. Chaos. An introduction to dynamical systems. Textbooks in Mathematical Sciences. Springer-Verlag, New York, 1997. xviii+603 pp. ISBN: 0-387-94677-2
     *  Sobottka, Marcelo; de Oliveira, Luiz P. L. Periodicity and predictability in chaotic systems. Amer. Math. Monthly 113 (2006), no. 5, 415--424.,
     *  Barrio Blaya, Alejo; Jiménez López, Víctor: Is trivial dynamics that trivial? Amer. Math. Monthly 113 (2006), no. 2, 109--133.
     *  Bryk, John; Silva, Cesar E.: Measurable dynamics of simple p-adic polynomials. Amer. Math. Monthly 112 (2005), no. 3, 212--232.
     *  Ingram, William T.; Mahavier, William S.: Interesting dynamics and inverse limits in a family of one-dimensional maps. Amer. Math. Monthly 111 (2004), no. 3, 198--215.
     *  Garcia, Ronaldo Elliptic billiards and ellipses associated to the 3-periodic orbits. Amer. Math. Monthly 126 (2019), no. 6, 491–504.
     *  Fernández-Sánchez, Juan; Trutschnig, Wolfgang Nested square roots of 2 revisited. Amer. Math. Monthly 127 (2020), no. 4, 344–351.
     *  Kulczycki, Marcin; Kwietniak, Dominik; Li, Jian Entropy of subordinate shift spaces. Amer. Math. Monthly 125 (2018), no. 2, 141–148.
     *  Bekker, Boris M.; Ivanov, Oleg A.; Merkurjev, Alexander S. Milnor's lemma, Newton's method, and continued fractions. Amer. Math. Monthly 123 (2016), no. 3, 258–266.

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Bsc, alkalmazott matematikus
  • Fraktálok, geometriai mértékelmélet, multifraktálok

    Témavezető:Buczolich Zoltán A téma rövid leírása:

    A fenti nagy témakör valamelyik érdekes, modern alfejezetének feldolgozása esetleg bekapcsolódás a témkörben folyó kutatómunkába. A lehetséges részterületek például a következők: Dimenziófogalmak, Sűrűségi tételek, Irreguláris halmazok, Multifraktál analízis, tangens mértékek, mértékek dimenziói, rektifikálhatóság, korlátos változású (BV) halmazok, topologikus Hausdorff dimenzió.

    Javasolt irodalom: Bezáratlan begin_{itemize}.


     *  Falconer, K. J. The geometry of fractal sets. Cambridge Tracts in Mathematics, 85. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+162 pp,
     *  Falconer, Kenneth Techniques in fractal geometry. John Wiley and Sons, Ltd., Chichester, 1997. xviii+256,
     *  Falconer, Kenneth Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. Second edition. John Wiley and Sons, Inc., Hoboken, NJ, 2003. xxviii+337 pp.,
     *  Mattila, Pertti Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Fractals and rectifiability. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 44. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
     *  Ambrosio, Luigi; Fusco, Nicola; Pallara, Diego Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000.
     *  Z. Buczolich, Non-\(\displaystyle L^{1}\) functions with rotation sets of Hausdorff dimension one, Acta Mathematica Hungarica 126:(1-2) pp. 23-50, (2010),
     *  Z. Buczolich and A. Máthé, Where are typical \(\displaystyle C^1\) functions one-to-one?, Math. Bohem. 131 (2006), no. 3, 291--303.
     *  Z. Buczolich, Occupation measure and level sets of the Weierstrass-Cellerier function. Recent developments in fractals and related fields, 3-18, Appl. Numer. Harmon. Anal., Birkh\"auser Boston, Inc., Boston, MA, 2010.
     *  Balka, Richárd; Buczolich, Zoltán; Elekes, Márton A new fractal dimension: the topological Hausdorff dimension. Adv. Math. 274 (2015), 881–927.
     *  Balka, Richárd; Buczolich, Zoltán; Elekes, Márton Topological Hausdorff dimension and level sets of generic continuous functions on fractals. Chaos Solitons Fractals 45 (2012), no. 12, 1579–1589.
     *  Buczolich, Zoltán; Seuret, Stéphane Multifractal properties of typical convex functions. Monatsh. Math. 187 (2018), no. 1, 59–78.
     *  Buczolich, Zoltán Multifractal properties of convex hulls of typical continuous functions. Recent developments in fractals and related fields, 71–86, Trends Math., Birkhäuser/Springer, Cham, 2017.
     *  Huang, Liang-yi; Rao, Hui A dimension drop phenomenon of fractal cubes. J. Math. Anal. Appl. 497 (2021), no. 2, Paper No. 124918, 11 pp.
     *  Carvalho, Silas L.; Condori, Alexander Generalized fractal dimensions of invariant measures of full-shift systems over compact and perfect spaces: generic behavior. Forum Math. 33 (2021), no. 2, 435–450.
     *  Falconer, Kenneth J. A capacity approach to box and packing dimensions of projections of sets and exceptional directions. J. Fractal Geom. 8 (2021), no. 1, 1–26.
     *  Xiao, Jian-Ci Fractal squares with finitely many connected components. Nonlinearity 34 (2021), no. 4, 1817–1836.
     *  Orponen, Tuomas On the Assouad dimension of projections. Proc. Lond. Math. Soc. (3) 122 (2021), no. 2, 317–351.
     *  Wagemakers, Alexandre; Daza, Alvar; Sanjuán, Miguel A. F. How to detect Wada basins. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 26 (2021), no. 1, 717–739.

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Msc, matematikus
  • Dinamikus rendszerek, ergodelmélet

    Témavezető:Buczolich Zoltán A téma rövid leírása:

    A fenti nagy témakörök valamelyik érdekes, modern alfejezetének feldolgozása esetleg bekapcsolódás a témakörben folyó kutatómunkába. A lehetséges részterületek például a következők: Entrópia fogalmak, topologikus dinamika, szimbolikus dinamika, ergodtételek, maximális egyenlőtlenségek, nem konvencionális ergodikus közepek, ergodikus optimalizáció.

    Javasolt irodalom:


     *  Petersen, Karl Ergodic theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2. Cambridge University Press, Cambridge, 1983.,
     *  Walters, Peter An introduction to ergodic theory. Graduate Texts in Mathematics, 79. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982.
     *  B. Hasselblatt, A. Katok: A first course in dynamics. With a panorama of recent developments. Cambridge University Press, New York, 2003.
     *  A. Katok, B.Hasselblatt: Introduction to the modern theory of dynamical systems. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 54. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
     *  Robert L. Devaney: An introduction to chaotic dynamical systems. Second edition. Addison Wesley Studies in Nonlinearity. Addison Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989.
     *  D. Lind, B. Marcus, An introduction to symbolic dynamics and coding. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
     *  Jenkinson, Oliver Ergodic optimization. Discrete Contin. Dyn. Syst. 15 (2006), no. 1, 197-224.
     *  Balibrea, Francisco Some problems connected with the Thue-Morse and Fibonacci sequences. Advances in dynamical systems and control, 273–293, Stud. Syst. Decis. Control, 69, Springer, [Cham], 2016.
     *  Coven, Ethan M.; Dekking, F. Michel; Keane, Michael S. Topological conjugacy of constant length substitution dynamical systems. Indag. Math. (N.S.) 28 (2017), no. 1, 91–107.
     *  Carvalho, T. O. Forward boundedness of the trace map for the period doubling substitution. Nonlinearity 33 (2020), no. 9, 4390–4406.
     *  A témavezető cikkeiből: Z. Buczolich and D. Mauldin, Divergent Square Averages, Annals of Mathematics, 171, pp. 1479-1530,
     *  I. Assani and Z. Buczolich, The \(\displaystyle (L^{1},L^{1})\) bilinear Hardy-Littlewood function and Fürstenberg averages, Rev. Mat. Iberoamericana Volume 26, Number 3 (2010), 861-890,
     *  Z. Buczolich, Almost everywhere convergence of ergodic averages, Real Anal. Exchange 34 (2009), no. 1, 1--15.
     *  K. M. Brucks and Z. Buczolich, Trajectory of the turning point is dense for a co-\(\displaystyle sigma\)-porous set of tent maps, Fund. Math. 165 (2000), 95-123.
     *  K. M. Brucks and Z. Buczolich, Universality in inverse limit spaces of the logistic famliy occurs with positive measure, Atti. Sem. Univ. Modena, 48 (2000), no. 2, 335-353.
     *  Buczolich, Zoltán; Keszthelyi, Gabriella Convergence of ergodic averages for many group rotations. Ergodic Theory Dynam. Systems 36 (2016), no. 7, 2107–2120.
     *  Buczolich, Zoltán; Keszthelyi, Gabriella Equi-topological entropy curves for skew tent maps in the square. Math. Slovaca 67 (2017), no. 6, 1577–1594.
     *  Brémont, Julien; Buczolich, Zoltán Maximizing points and coboundaries for an irrational rotation on a circle. Ergodic Theory Dynam. Systems 33 (2013), no. 1, 24–48.
     *  Buczolich, Zoltán Ergodic averages with prime divisor weights in L1. Ergodic Theory Dynam. Systems 39 (2019), no. 4, 889–897.
     *  Buczolich, Zoltán; Keszthelyi, Gabriella Isentropes and Lyapunov exponents. Discrete Contin. Dyn. Syst. 40 (2020), no. 4, 1989–2009.
     *  Buczolich, Zoltán; Maga, Balázs; Moore, Ryo Generic Birkhoff spectra. Discrete Contin. Dyn. Syst. 40 (2020), no. 12, 6649–6679.

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Bsc, alkalmazott matematikus Msc, matematikus
  • Geometriai mértékelmélet Témavezető:Elekes Márton A téma rövid leírása:

    A témát azoknak ajánlom, akik elvégezték a "Geometriai mértékelmélet" kurzust. A szakdolgozó feladata az ott megismert valamelyik anyagrész részletesebb megismerése és feldolgozása, valamint kellő elszántság esetén a kapcsolódó nyitott problémák tanulmányozása lenne.

    Javasolt irodalom:

    Megbeszélés szerint

    Javasolt szakirányok: Msc, matematikus
  • Leíró halmazélmélet Témavezető:Elekes Márton A téma rövid leírása:

    A témát azoknak ajánlom, akik elvégezték a "Leíró halmazélmélet" kurzust. A szakdolgozó feladata az ott megismert valamelyik anyagrész részletesebb megismerése és feldolgozása, valamint kellő elszántság esetén a kapcsolódó nyitott problémák tanulmányozása lenne.

    Javasolt irodalom:

    Megbeszélés szerint

    Javasolt szakirányok: Msc, matematikus
  • Valós analízis és halmazelmélet Témavezető:Elekes Márton A téma rövid leírása:

    A tágan értelmezett valós analízisben, amelybe beleértjük például a leíró halmazelméletet és a geometriai mértékelméletet is, gyakran bukkan fel a halmazelmélet. Sokszor bizonyítási módszerként, időnként már a kérdésfelvetésben, és néha azért, mert egy kérdés váratlanul függetlennek bizonyul a ZFC axiómarendszertől.

    A szakdolgozó feladata egy ilyen téma megismerése és feldolgozása, valamint kellő elszántság esetén a kapcsolódó nyitott problémák tanulmányozása lenne.

    Javasolt irodalom:

    Megbeszélés szerint

    Javasolt szakirányok: Msc, matematikus
  • Konkrét univerzális objektumok Témavezető:Elekes Márton A téma rövid leírása:

    A matematika számos területén fontos, hogy objektumok egy osztályában van-e olyan, amelybe minden osztálybeli objektum beágyazható, illetve amelynek minden osztálybeli objektum homomorf képe. Az ilyeneket injektíven illetve projektíven univerzálisaknak nevezzük. Injektíven univerzális például a \(\displaystyle (\mathbb{Q}, <)\) megszámlálható rendezett halmaz, a véletlen gráf, a Hilbert-kocka mint kompakt topologikus tér, \(\displaystyle C[0,1]\) mint szeparábilis Banach-tér, \(\displaystyle \mathbb{T}^{\mathbb{N}}\) mint kompakt metrikus Abel csoport, az úgynevezett Uriszon-tér mint szeparábilis metrikus tér, stb. Projektíven univerzális pedig például a szabad csoport, a Cantor-halmaz mint kompakt topologikus tér, az irracionális számok mint lengyel tér, stb. A szakdolgozó feladata az irodalom összegyűjtése és feldolgozása, valamint kellő elszántság esetén ilyen típusú nyitott problémák tanulmányozása lenne.

    Javasolt irodalom:

    Megbeszélés szerint

    Javasolt szakirányok: Msc, matematikus
  • Kombinatorikus Nullhelytétel multihalmazokra

    Témavezető:Kós Géza A téma rövid leírása:

    A polinom-módszer, főleg a Noga Alon féle Combinatorial Nullstellensatz és általánosításai és ezek alkamazásai kombinatorikai problémák megoldásában.

    Javasolt irodalom:


     *  N. Alon: Combinatorial Nullstellensatz
     *  S. Ball, O. Serra: Punctured Combinatorial Nullstellensätze
     *  G. Kós, L. Rónyai: Alon's Nullstellensatz for multisets

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Msc, matematikus
  • Olimpiai és középiskolai matematika versenyfeladatok

    Témavezető:Kós Géza A téma rövid leírása:

    Olyan feldatok, megoldások és a megoldásokban használható módszerek, tételek összegyűjtése és feldolgozása, amelyek középiskolai matematikaversenyekre, első sorban a Nemzetközi Matematikai Diákolimpiára való felkészülést segíthetik.

    Javasolt irodalom:

    KöMaL, IMO Shortlistek, urlhttp://www.artofproblemsolving.com

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Bsc, matematika tanár
  • Egyetemi matematika versenyfeladatok

    Témavezető:Kós Géza A téma rövid leírása:

    Olyan feldatok, megoldások és a megoldásokban használható módszerek, tételek összegyűjtése és feldolgozása, amelyek az egyetemi matematikaversenyekre (IMC, Vojtech Jarnik, Seemous) való felkészülést segíthetik.

    Javasolt irodalom:

    Az említett versenyek honlapjai, http://www.artofproblemsolving.com

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Bsc, matematika tanár
  • Elemi számelméleti tételek kvadratikus testekben

    Témavezető:Kós Géza A téma rövid leírása:

    Mennyire lehet a klasszikus elemi számelméleti tételeket és bizonyításaikat (p. Legendre-formula, a prímek eloszlásáról szóló elemi tételek stb.) elismételni a Gauss- vagy az Euler-egészek körében?

    Javasolt irodalom:


     *  Freud-Gyarmati: Számelmélet; Niven-Zuckerman: Beveztés a számelméletbe

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus
  • Klasszikus geometriai tételek nem euklideszi geometriákban

    Témavezető:Kós Géza A téma rövid leírása:

    Van-e megfelelője az euklideszi geometriából jól ismert tételeknek (húrnégyszögtétel, pont körre vonatkozó hatványa, projektív tételek, Monge-féle három kör tétel stb.) hiperbolikus és gömbi geometriálban?

    Javasolt irodalom:


     *  Reimann: A geometria és határterületei
     *  Coxeter: A geometriák alapjai
     *  Akopjan: On some classical constructions extended to hyperbolic geometry

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Bsc, alkalmazott matematikus Bsc, matematika tanár
  • A törtkalkulus és alkalmazásai, avagy mi legyen egy függvény \(\displaystyle \sqrt{2}\)-edik deriváltja?

    Témavezető:Kós Géza A téma rövid leírása:

    Függvényeket pozitív egész számszor szoktunk differenciálni vagy integrálni. Ki lehet-e terjeszteni ezt az operációt nem egész indexekre, vagy éppen komplex számokra?

    Javasolt irodalom:


     *  a \(\displaystyle \Gamma\)-függvényről szóló könyvfejezetek, jegyzetek
     *  a Fourier- és Laplace-transzformáltról szóló könyvfejezetek, jegyzetek

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Msc, matematikus
  • Polinomokra és trigonometrikus összegekre vonatkozó egyenlőtlenségek és alkalmazásaik Témavezető:Kós Géza A téma rövid leírása:

    Olyan becslések vizsgálata, amelyben különböző, az együtthatókra vagy a gyökökre vonatkozó megkötések mellett a polinom vagy deriváltja értékeinek vagy gyökeinek eloszlását vizsgáljuk. (Pl. ha egy \(\displaystyle n\)-edfokú polinomnak minden együtthatója \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 0\) vagy \(\displaystyle -1\), akkor legfeljebb hányszoros gyöke lehet az \(\displaystyle 1\)?)

    Javasolt irodalom:

    Peter Borwein és Erdélyi Tamás cikkei

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Msc, matematikus
  • Gyökkeresés iterációval. Témavezető:Sigray István A téma rövid leírása:

    Egyik legegyszerűbb módszer egy polinom egy gyökét (vagy általánosabban függvény zérushelyét) Newton iterációval keresni. A szakdolgozatban konkrét példák kiszámolása illetve elemzése történik; mind a valós, mind a komplex Newton iterációt megvizsgáljuk. A dolgozat írójának jártasnak kell lennie Matlab vagy más matematikai program alkalmazásában.

    Javasolt irodalom:
    • J. Milnor: Dynamics in one complex variable
    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Bsc, alkalmazott matematikus Bsc, matematikai elemző Bsc, matematika tanár
  • Ideális áramlás Témavezető:Sigray István A téma rövid leírása:

    Konkrétan megadott példák esetén a definiált fizikai mennyiségeket kiszámolni, vagy kutatómunkát végezni.

    Javasolt irodalom:
    • Halász Gábor: Kis hidrodinamika, kézirat.
    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Bsc, alkalmazott matematikus
  • Komplex függvénytan gyakorló feladatok Témavezető:Sigray István A téma rövid leírása:

    Gyakorló feladatok összegyűjtése, mintamegoldások és megoldási tippek írása a Komplex függvénytan gyakorlatokon szerepelt témák valamelyikéhez.

    Javasolt irodalom:
    • Halász Gábor: Bevezető komplex függvénytan
    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Bsc, alkalmazott matematikus
  • Komplex dinamikai problémák Témavezető:Sigray István A téma rövid leírása:

    Milnor:Dynamics in One Complex Variable c. könyvében levő feladatok megoldása, és a hozzájuk tartozó elmélet leírása

    Javasolt irodalom:
    • Milnor: Dynamics in One Complex Variable
    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Bsc, alkalmazott matematikus
  • Fonat csoporok Témavezető:Sigray István A téma rövid leírása:

    A fonat csoport rendkívül sok helyen bukkan fel. (Algebra, csomóelmélet, Riemann felületek). A szakdolgozat e gazdag témakör valamely részének feldolgozása, összefoglalása, esetleg önálló eredmény leírása.

    Javasolt irodalom:
    • Hansen: Braids and Coverings: Selected Topics (London Mathematical Society Student Texts)
    Javasolt szakirányok: Msc, matematikus
  • Komplex dinamikai problémák Témavezető:Sigray István A téma rövid leírása:

    Milnor:Dynamics in One Complex Variable c. könyvében levő feladatok megoldása, és a hozzájuk tartozó elmélet leírása

    Javasolt irodalom:
    • Milnor: Dynamics in One Complex Variable
    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Bsc, alkalmazott matematikus
  • Kvázikonform leképezések alkalmazásai. Témavezető:Sigray István A téma rövid leírása:

    A kvázikonform leképezések klasszikus alkalmazásainak egyikét kell színvonalasan, jól érthetően leírni.

    Javasolt irodalom:
    • Lars V. Ahlfors: Quasiconformal mappings.
    Javasolt szakirányok: Msc, matematikus
  • Többváltozós komplex függvénytan Témavezető:Szőke Róbert A téma rövid leírása:

    Ismerkedés a többdimenziós komplex analízis és geometria néha szokatlan világával. A szakdolgozat célja: könyvfejezet, ill. cikkek feldolgozása. Előismeret a többváltozós komplex függvénytanban nem szükséges.

    Javasolt irodalom:

    A választott konkrét témától függően angol nyelvű könyvfejezet, cikkek.

    Javasolt szakirányok: Msc, matematikus
  • Geometriai kvantálás Témavezető:Szőke Róbert A téma rövid leírása:

    A geometriai kvantálás egy M Riemann sokasághoz (konfugurációs tér) egy H Hilbert teret rendel hozzá kanonikus módon. Az M-en definiált függvényeknek H-n definiált operátorok felelnek meg. A project célja megismerkedni ezzel az elmélettel, és az adaptált komplex struktúrákkal.

    Javasolt irodalom:
    • N.M.J. Woodhouse: Geometric quantization, 2nd ed, Clarendon Press, 1991
    • L.Lempert, R. Szőke: Global solutions of the homogeneous complex Monge-Amperére equation and complex structures on the tangent bundle of Riemannian manifolds, Math. Ann., vol290, 1991, pp.689-712
    • L. Lempert, R. Szőke: A new look at adapted complex structures, Bull. LMS, vol44, 2012, pp. 367-374
    • L. Lempert, R. Szőke: Direct images, fields of Hilbert spaces and geometric quantization, Comm. Math. Phys., vol 327, 2014, pp. 49-99
    Javasolt szakirányok: Msc, matematikus
  • Schwarz derivált

    Témavezető:Szőke Róbert A téma rövid leírása:

    Egy holomorf függvény Schwarz deriváltja egy nemlineáris kifejezés a harmadrendű deriváltak között. Eredetileg a klasszikus komplex függvénytanban, konform leképezések kapcsán bukkant fel, de születése óta a matematika számos egyéb területén jelent meg váratlanul (differenciálegyenletek, dinamikus rendszerek, integrálható rendszerek, Riemann metrikák görbülete) stb. A feladat: a témához kapcsolódó, a diákot érdeklő angol nyelvű cikkek feldolgozása. Ízelítőül szolgál az alábbi cikk.

    Javasolt irodalom:


     *  ... V. Ovsienko S. Tabachnikov:What is....the Schwarzian derivative, AMS Notices, 56, (1), 2009, 34-36

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Msc, matematikus
  • Gauss-Bonnet tétel topológiai bizonyítása és általánosításai. Témavezető:Szűcs András A téma rövid leírása:

    1.A. Páratlan dimenziós euklideszi térbe immertált 1 kodimenziós sokaság főgörbületeinek szorzatát integrálva az Euler karakterisztika konstansszorosát kapjuk. Ez a Gauss Bonnet tétel álatlánosítása immerzióból előálló metrikákra. A bizonyítás topológiai (Morse elméletet, ill. a Poincaré - Hopf tételt használja).

    1.B. De Rham tétel. A karakterisztikus osztályok megadása differenciálformákkal. Ezek integráljai topologikus invariánsok, ezek mind a Gauss-Bonnet tétel általánosításai.

    Javasolt irodalom:
    • Bott-Tu. Differential forms in algebraic topology
    • Milnor- Stasheff: Characteristic classes. Appendix C
    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus
  • Folytonos funktorok vektortereken, mint funktorok a vektornyalábokon. Témavezető:Szűcs András A téma rövid leírása:

    A vektornyalábok egy extraordináris kohomológiaelméletet határoznak meg, a K-elméletet, ennek kohomologikus operációi lesznek a fenti funktorok. Alkalmazások a Hopf invariáns 1 problémára és a gömbökön megadható maximális számú vektormező kérdésére.

    Javasolt irodalom:
    • Atiyah M.F: K-theory and the Hopf invariant. Quart.J Math. 1966. 17. N. 65, 31-38.
    • Husemoller D. : Fibre Bundles. Chapter 15.
    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus
  • Spektrális sorozatok és alkalmazásaik a homotopikus csoportok kiszámolására. Témavezető:Szűcs András A téma rövid leírása:

    1. A spektrális sorozat

    2. Atiyah - Hirzebruch spektrális sorozat.

    3. Serre spektrális sorozata. Mod C eredmények a homotopikus csoportokról.

    4. Adams spektrális sorozat.

    Javasolt irodalom: Javasolt szakirányok: Msc, matematikus
  • A Pontrjagin- Thom módszer általánosításai Témavezető:Szűcs András A téma rövid leírása:

    1. Immerziók kobordizmusai

    2. Szinguláris leképezések kobordizmusai.

    Javasolt irodalom: Javasolt szakirányok: Msc, matematikus
  • Homológia és bordizmus

    Témavezető:Terpai Tamás A téma rövid leírása:

    A homológiaelméletek az algebrai topológia egyik legeredményesebb eszközét adják, felépítésük viszont eltávolít attól a természetes geometriai képtől -- ahol a reprezentáló objektumok sokaságok formális lineáris kombinációi --, amit a szinguláris bordizmusok extraordinális homológiaelmélete fogalmaz meg rigorózusan. A szakdolgozó feladata a bordizmusok és a homológiák felépítésének és kapcsolatának feldolgozása Conner és Floyd klasszikus könyvének alapján, az alkalmazott módszerek bemutatásával.

    Javasolt irodalom:

    A. Hatcher: Algebraic Topology

    P.E. Conner, E.E. Floyd: Differentiable periodic maps

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus
  • Moduláris formák numerikus módszerei Témavezető:Tóth Árpád A téma rövid leírása:

    A moduláris formák a hiperbolikus (Bolyai-Lobacsevszkij) sík speciális szimmetria csoportjaira nézve invariáns függvények. Ezen függvények elmélete a számelmélet, geometria, reprezentáció elmélet, parciális differenciál egyenletek határterületén helyezkedik el, de legerősebb a számelméleti jelleg.

    A projekt célja nagyobb rálátás megszerzése ezen formákra és általánosításaikra, numerikus módszerek segítségével.

    Javasolt irodalom:

    Személyes megbeszélés alapján

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Msc, matematikus
  • Hurkolódási számok speciális 3-sokaságokon Témavezető:Tóth Árpád A téma rövid leírása:

    Két térbeli csomó hurkolódási számára a körülfordulási számhoz hasonlóan analitikus kifejezés adható. Ezt először Gauss (1832) és Maxwell (1867) adta meg. A formula kiterjeszthető az egységgömbre, a hiperbolikus térre. A projekt célja a kiterjesztés a többi Thurston féle modell geometriára, elsősorban az \(\displaystyle \tilde{SL}_2\) típusra.

    Javasolt irodalom:
    • DeTurck, Dennis, and Herman Gluck: Electrodynamics and the Gauss linking integral on the 3-sphere and in hyperbolic 3-space. Journal of Mathematical Physics 49.2 (2008): 023504.
    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Msc, matematikus
  • Exponenciális összegek a moduláris formák elméletében Témavezető:Tóth Árpád A téma rövid leírása:

    Az exponenciális összegek (klasszikusan trigonometrikus összegek) aritmetikailag meghatározott komplex számok összegei. Maga Gauss volt az első aki észrevette, hogy ezek úgy viselkednek mint véletlen síkbeli vektorok összegei, és az összeg lényegesen kisebb a tagok számánál. Az elmélet kiterjesztése Artin, Weil és Deligne nevéhez fűződik. Ezek a becslések nagyon fontos szerepet játszanak a számelméletben.

    A konkrét feladat magasabb rangú moduláris formák elméletében megjelenő exponenciális összegek becslése. Ez kapcsolódik mind a Lie csoportok, mind az algebrai geometria területéhez.

    Javasolt irodalom:

    Személyes megbeszélés alapján

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Msc, matematikus
  • Számelméleti kérdések függvénytestekben

    Témavezető:Tóth Árpád A téma rövid leírása:

    Legyen \(F\) egy véges test. Az \(F[t]\) polinomgyűrű nagyon sok hasonlós got mutat az egész számok gyűrűjével, és számos klasszikus számelméleti feladat megfogalmazható ebben a gyűrűben is, gyakran a hagyományos kérdéssel szemben meg is oldhatók. A szakdolgozatban ilyen feladatokkal kapcsolatos irodalom feldolgozása a cél.

    Javasolt irodalom:


     *  Rosen Number theory in function fields

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Bsc, alkalmazott matematikus Bsc, matematikai elemző Bsc, matematika tanár 5 éves, matematika tanár Msc, matematikus
  • Sajátértékproblémák Riemann felületeken

    Témavezető:Tóth Árpád A téma rövid leírása:

    A Laplace operátor egy Riemann felület speciális másodrendű differenciáloperátora, ami a hagyományos síkbeli Laplace operátort általánosítja. A Laplace operátor spektruma és a Riemann sokaság geometriai tulajdonságai között szoros kapcsolat áll fenn. A szakdolgozat célja a témával kapcsolatos irodalom feldolgozása.

    Javasolt irodalom:


     *  Személyes megbeszélés alapján.

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Bsc, alkalmazott matematikus Bsc, matematikai elemző Bsc, matematika tanár 5 éves, matematika tanár Msc, matematikus
  • Elliptikus görbék számelmélete

    Témavezető:Tóth Árpád A téma rövid leírása:

    Az elliptikus görbék elmélete rendkívül gazdag, a geometria, algebra, analízis eszközeit is használja. Az elmélet számelméleti szempontból is fontos kutatási terület, Diophantuszig visszanyúló hagyományokkal. A szakdolgozat ehhez a témakörhöz kapcsolódó irodalom feldolgozása a cél. A konkrét kérdések a klasszikus matematikatörténetileg érdekes feladatoktól a modern, gyakran nyitott problémákig széles választékot nyújtanak.

    Javasolt irodalom:


     *  Személyes megbeszélés szerint.

    Javasolt szakirányok: Bsc, matematikus Bsc, alkalmazott matematikus Bsc, matematikai elemző Bsc, matematika tanár 5 éves, matematika tanár Msc, matematikus