Szakdolgozati témáink

A tipikus folytonos függvények Hölder spektrumát és momentum összegeit vizsgáló cikk és annak előzményeit tartalmazó cikkek anyagának megértése és átgondolása után esetleg önálló kutatómunkába is kezdhet, mivel számos további kérdés vethető fel. A kutatás iránt érdeklődő szakdolgozó szakdolgozatát sikeres problémamegoldások esetén később esetleg TDK dolgozatban, illetve önálló kutatómunkában is folytathatja.

 *  J. Genyuk, A typical measure typically has no local dimension, Real Anal. Exchange, 23(2), 1997/8, 525-538.
 *  T. Zamfirescu, Most monotone functions are singular, Amer. Math. Monthly, 88 (1) (1981), 47--49.
 *  T. Zamfirescu, Typical monotone continuous functions, Arch. Math., 42 (1984), 151--156.,
 *  Z. Buczolich and J. Nagy, H\"older spectrum of typical monotone continuous functions, Real Analysis Exchange, 26 (2000/01), no. 1, 133-156.
 *  Buczolich, Zoltán; Seuret, Stéphane Multifractal spectrum and generic properties of functions monotone in several variables. J. Math. Anal. Appl. 382 (2011), no. 1, 110–126.
 *  Buczolich, Zoltán; Seuret, Stéphane Multifractal properties of typical convex functions. Monatsh. Math. 187 (2018), no. 1, 59–78.
 *  Buczolich, Zoltán Multifractal properties of convex hulls of typical continuous functions. Recent developments in fractals and related fields, 71–86, Trends Math., Birkhäuser/Springer, Cham, 2017.
 *  Buczolich, Zoltán; Seuret, Stéphane Homogeneous multifractal measures with disjoint spectrum and monohölder monotone functions. Real Anal. Exchange 40 (2014/15), no. 2, 277–289

G. A. Edgar Measure Topology and Fractal Geometry című könyvéből egy vagy több fejezet anyagának feldolgozása esetleg kitekintés friss folyóiratcikkekben leírt eredményekre. Témakörök: Példák fraktálokra, metrikák, topologikus dimenzió, önhasonlóság, mértékelmélet, Hausdorff dimenzió. A szakdolgozónak az új fogalmak megértésén és feldolgozásán kívül feladatmegoldásra, animációk/illusztrációk készítésére, megfelelő informatikai háttér esetén programírásra és példák kidolgozására van lehetősége.

 *  Edgar, Gerald A. Measure, topology, and fractal geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1990.
 *  Previte, Michelle; Yang, Sean A novel way to generate fractals. Amer. Math. Monthly 115 (2008), no. 1, 13--32.
 *  Schleicher, Dierk Hausdorff dimension, its properties, and its surprises. Amer. Math. Monthly 114 (2007), no. 6, 509--528.
 *  Devaney, Robert L. The Mandelbrot set, the Farey tree, and the Fibonacci sequence.
Amer. Math. Monthly 106 (1999), no. 4, 289--302.
 *  Halmos, Paul R. Large intersections of large sets. Amer. Math. Monthly 99 (1992), no. 4, 307–312.
 *  Yao, Yuanyuan; Li, Wenxia Generating iterated function systems for the Vicsek snowflake and the Koch curve. Amer. Math. Monthly 123 (2016), no. 7, 716–721.
 *  Goffinet, Daniel Number systems with a complex base: a fractal tool for teaching topology. Amer. Math. Monthly 98 (1991), no. 3, 249–255.

A címben megjelölt témakörbe eső könyvfejezetek, folyóiratcikkek feldolgozása, feladatmegoldás, animációk készítése esetleg programozási/prezentációs feladat megoldása vár a szakdolgozóra. A témakör különösen ajánlott az elemző Dinamikai rendszerek előadás hallgatóinak, de mások is megpróbálkozhatnak vele.

 *  B. Hasselblatt, A. Katok: A first course in dynamics. With a panorama of recent developments. Cambridge University Press, New York, 2003.
 *  A. Katok, B.Hasselblatt: Introduction to the modern theory of dynamical systems. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 54. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
 *  Robert L. Devaney: An introduction to chaotic dynamical systems. Second edition. Addison Wesley Studies in Nonlinearity. Addison Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989.
 *  D. Lind, B. Marcus, An introduction to symbolic dynamics and coding. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
 *  Alligood, Kathleen T.; Sauer, Tim D.; Yorke, James A. Chaos. An introduction to dynamical systems. Textbooks in Mathematical Sciences. Springer-Verlag, New York, 1997. xviii+603 pp. ISBN: 0-387-94677-2
 *  Sobottka, Marcelo; de Oliveira, Luiz P. L. Periodicity and predictability in chaotic systems. Amer. Math. Monthly 113 (2006), no. 5, 415--424.,
 *  Barrio Blaya, Alejo; Jiménez López, Víctor: Is trivial dynamics that trivial? Amer. Math. Monthly 113 (2006), no. 2, 109--133.
 *  Bryk, John; Silva, Cesar E.: Measurable dynamics of simple p-adic polynomials. Amer. Math. Monthly 112 (2005), no. 3, 212--232.
 *  Ingram, William T.; Mahavier, William S.: Interesting dynamics and inverse limits in a family of one-dimensional maps. Amer. Math. Monthly 111 (2004), no. 3, 198--215.
 *  Garcia, Ronaldo Elliptic billiards and ellipses associated to the 3-periodic orbits. Amer. Math. Monthly 126 (2019), no. 6, 491–504.
 *  Fernández-Sánchez, Juan; Trutschnig, Wolfgang Nested square roots of 2 revisited. Amer. Math. Monthly 127 (2020), no. 4, 344–351.
 *  Kulczycki, Marcin; Kwietniak, Dominik; Li, Jian Entropy of subordinate shift spaces. Amer. Math. Monthly 125 (2018), no. 2, 141–148.
 *  Bekker, Boris M.; Ivanov, Oleg A.; Merkurjev, Alexander S. Milnor's lemma, Newton's method, and continued fractions. Amer. Math. Monthly 123 (2016), no. 3, 258–266.

A fenti nagy témakör valamelyik érdekes, modern alfejezetének feldolgozása esetleg bekapcsolódás a témkörben folyó kutatómunkába. A lehetséges részterületek például a következők: Dimenziófogalmak, Sűrűségi tételek, Irreguláris halmazok, Multifraktál analízis, tangens mértékek, mértékek dimenziói, rektifikálhatóság, korlátos változású (BV) halmazok, topologikus Hausdorff dimenzió.

 *  Falconer, K. J. The geometry of fractal sets. Cambridge Tracts in Mathematics, 85. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+162 pp,
 *  Falconer, Kenneth Techniques in fractal geometry. John Wiley and Sons, Ltd., Chichester, 1997. xviii+256,
 *  Falconer, Kenneth Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. Second edition. John Wiley and Sons, Inc., Hoboken, NJ, 2003. xxviii+337 pp.,
 *  Mattila, Pertti Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Fractals and rectifiability. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 44. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
 *  Ambrosio, Luigi; Fusco, Nicola; Pallara, Diego Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000.
 *  Z. Buczolich, Non-\(\displaystyle L^{1}\) functions with rotation sets of Hausdorff dimension one, Acta Mathematica Hungarica 126:(1-2) pp. 23-50, (2010),
 *  Z. Buczolich and A. Máthé, Where are typical \(\displaystyle C^1\) functions one-to-one?, Math. Bohem. 131 (2006), no. 3, 291--303.
 *  Z. Buczolich, Occupation measure and level sets of the Weierstrass-Cellerier function. Recent developments in fractals and related fields, 3-18, Appl. Numer. Harmon. Anal., Birkh\"auser Boston, Inc., Boston, MA, 2010.
 *  Balka, Richárd; Buczolich, Zoltán; Elekes, Márton A new fractal dimension: the topological Hausdorff dimension. Adv. Math. 274 (2015), 881–927.
 *  Balka, Richárd; Buczolich, Zoltán; Elekes, Márton Topological Hausdorff dimension and level sets of generic continuous functions on fractals. Chaos Solitons Fractals 45 (2012), no. 12, 1579–1589.
 *  Buczolich, Zoltán; Seuret, Stéphane Multifractal properties of typical convex functions. Monatsh. Math. 187 (2018), no. 1, 59–78.
 *  Buczolich, Zoltán Multifractal properties of convex hulls of typical continuous functions. Recent developments in fractals and related fields, 71–86, Trends Math., Birkhäuser/Springer, Cham, 2017.
 *  Huang, Liang-yi; Rao, Hui A dimension drop phenomenon of fractal cubes. J. Math. Anal. Appl. 497 (2021), no. 2, Paper No. 124918, 11 pp.
 *  Carvalho, Silas L.; Condori, Alexander Generalized fractal dimensions of invariant measures of full-shift systems over compact and perfect spaces: generic behavior. Forum Math. 33 (2021), no. 2, 435–450.
 *  Falconer, Kenneth J. A capacity approach to box and packing dimensions of projections of sets and exceptional directions. J. Fractal Geom. 8 (2021), no. 1, 1–26.
 *  Xiao, Jian-Ci Fractal squares with finitely many connected components. Nonlinearity 34 (2021), no. 4, 1817–1836.
 *  Orponen, Tuomas On the Assouad dimension of projections. Proc. Lond. Math. Soc. (3) 122 (2021), no. 2, 317–351.
 *  Wagemakers, Alexandre; Daza, Alvar; Sanjuán, Miguel A. F. How to detect Wada basins. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 26 (2021), no. 1, 717–739.

A fenti nagy témakörök valamelyik érdekes, modern alfejezetének feldolgozása esetleg bekapcsolódás a témakörben folyó kutatómunkába. A lehetséges részterületek például a következők: Entrópia fogalmak, topologikus dinamika, szimbolikus dinamika, ergodtételek, maximális egyenlőtlenségek, nem konvencionális ergodikus közepek, ergodikus optimalizáció.

 *  Petersen, Karl Ergodic theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2. Cambridge University Press, Cambridge, 1983.,
 *  Walters, Peter An introduction to ergodic theory. Graduate Texts in Mathematics, 79. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982.
 *  B. Hasselblatt, A. Katok: A first course in dynamics. With a panorama of recent developments. Cambridge University Press, New York, 2003.
 *  A. Katok, B.Hasselblatt: Introduction to the modern theory of dynamical systems. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 54. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
 *  Robert L. Devaney: An introduction to chaotic dynamical systems. Second edition. Addison Wesley Studies in Nonlinearity. Addison Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989.
 *  D. Lind, B. Marcus, An introduction to symbolic dynamics and coding. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
 *  Jenkinson, Oliver Ergodic optimization. Discrete Contin. Dyn. Syst. 15 (2006), no. 1, 197-224.
 *  Balibrea, Francisco Some problems connected with the Thue-Morse and Fibonacci sequences. Advances in dynamical systems and control, 273–293, Stud. Syst. Decis. Control, 69, Springer, [Cham], 2016.
 *  Coven, Ethan M.; Dekking, F. Michel; Keane, Michael S. Topological conjugacy of constant length substitution dynamical systems. Indag. Math. (N.S.) 28 (2017), no. 1, 91–107.
 *  Carvalho, T. O. Forward boundedness of the trace map for the period doubling substitution. Nonlinearity 33 (2020), no. 9, 4390–4406.
 *  A témavezető cikkeiből: Z. Buczolich and D. Mauldin, Divergent Square Averages, Annals of Mathematics, 171, pp. 1479-1530,
 *  I. Assani and Z. Buczolich, The \(\displaystyle (L^{1},L^{1})\) bilinear Hardy-Littlewood function and Fürstenberg averages, Rev. Mat. Iberoamericana Volume 26, Number 3 (2010), 861-890,
 *  Z. Buczolich, Almost everywhere convergence of ergodic averages, Real Anal. Exchange 34 (2009), no. 1, 1--15.
 *  K. M. Brucks and Z. Buczolich, Trajectory of the turning point is dense for a co-\(\displaystyle sigma\)-porous set of tent maps, Fund. Math. 165 (2000), 95-123.
 *  K. M. Brucks and Z. Buczolich, Universality in inverse limit spaces of the logistic famliy occurs with positive measure, Atti. Sem. Univ. Modena, 48 (2000), no. 2, 335-353.
 *  Buczolich, Zoltán; Keszthelyi, Gabriella Convergence of ergodic averages for many group rotations. Ergodic Theory Dynam. Systems 36 (2016), no. 7, 2107–2120.
 *  Buczolich, Zoltán; Keszthelyi, Gabriella Equi-topological entropy curves for skew tent maps in the square. Math. Slovaca 67 (2017), no. 6, 1577–1594.
 *  Brémont, Julien; Buczolich, Zoltán Maximizing points and coboundaries for an irrational rotation on a circle. Ergodic Theory Dynam. Systems 33 (2013), no. 1, 24–48.
 *  Buczolich, Zoltán Ergodic averages with prime divisor weights in L1. Ergodic Theory Dynam. Systems 39 (2019), no. 4, 889–897.
 *  Buczolich, Zoltán; Keszthelyi, Gabriella Isentropes and Lyapunov exponents. Discrete Contin. Dyn. Syst. 40 (2020), no. 4, 1989–2009.
 *  Buczolich, Zoltán; Maga, Balázs; Moore, Ryo Generic Birkhoff spectra. Discrete Contin. Dyn. Syst. 40 (2020), no. 12, 6649–6679.

A témát azoknak ajánlom, akik elvégezték a "Geometriai mértékelmélet" kurzust. A szakdolgozó feladata az ott megismert valamelyik anyagrész részletesebb megismerése és feldolgozása, valamint kellő elszántság esetén a kapcsolódó nyitott problémák tanulmányozása lenne.

Megbeszélés szerint

A témát azoknak ajánlom, akik elvégezték a "Leíró halmazélmélet" kurzust. A szakdolgozó feladata az ott megismert valamelyik anyagrész részletesebb megismerése és feldolgozása, valamint kellő elszántság esetén a kapcsolódó nyitott problémák tanulmányozása lenne.

Megbeszélés szerint

A tágan értelmezett valós analízisben, amelybe beleértjük például a leíró halmazelméletet és a geometriai mértékelméletet is, gyakran bukkan fel a halmazelmélet. Sokszor bizonyítási módszerként, időnként már a kérdésfelvetésben, és néha azért, mert egy kérdés váratlanul függetlennek bizonyul a ZFC axiómarendszertől.

A szakdolgozó feladata egy ilyen téma megismerése és feldolgozása, valamint kellő elszántság esetén a kapcsolódó nyitott problémák tanulmányozása lenne.

Megbeszélés szerint

A matematika számos területén fontos, hogy objektumok egy osztályában van-e olyan, amelybe minden osztálybeli objektum beágyazható, illetve amelynek minden osztálybeli objektum homomorf képe. Az ilyeneket injektíven illetve projektíven univerzálisaknak nevezzük. Injektíven univerzális például a \(\displaystyle (\mathbb{Q}, <)\) megszámlálható rendezett halmaz, a véletlen gráf, a Hilbert-kocka mint kompakt topologikus tér, \(\displaystyle C[0,1]\) mint szeparábilis Banach-tér, \(\displaystyle \mathbb{T}^{\mathbb{N}}\) mint kompakt metrikus Abel csoport, az úgynevezett Uriszon-tér mint szeparábilis metrikus tér, stb. Projektíven univerzális pedig például a szabad csoport, a Cantor-halmaz mint kompakt topologikus tér, az irracionális számok mint lengyel tér, stb. A szakdolgozó feladata az irodalom összegyűjtése és feldolgozása, valamint kellő elszántság esetén ilyen típusú nyitott problémák tanulmányozása lenne.

Megbeszélés szerint

Fuglede azt sejtette, hogy pontosan azokkal a pozitív mértékű halmazokkal lehet parkettázni eltolásokkal az \(\displaystyle n\)-dimenziós teret, amelyekre igaz, hogy a rajta értelmezett függvények \(\displaystyle L^2\) tere tartalmaz ortogonális exponenciális függvényekből álló bázist. Annak ellenére, hogy ezt a sejtést azóta sikerült cáfolni teljes általánosságban, rengeteg konkrét esetben igazolták fenti kapcsolatot. Például a közelmúltban belátták, hogy konvex halmazokra a sejtés igaz. A sejtéssel kapcsolatban sok további kérdés maradt nyitva. Általánosítva az ortogonális bázis fogalmát eljutunk a Riesz-bázishoz. A parkettázás helyett pedig vehetünk \(\displaystyle k\)-szorosan parkettázó halmazokat. Ezek viszonya az elmúlt években intenzíven kutatott terület. A szakdolgozó feladata, hogy megismerje ezen eredményeket és ezekről egy átlátható képet alkosson. A megismert módszerekkel pedig új irányokba végezzen kutatást.

 *  A. Debernardi, N. Lev, Riesz bases of exponentials for convex polytopes with symmetric faces, Journal of the European Mathematical Society 24 (2022), no. 8, 3017-3029.
 *  M.N. Kolountzakis, Multiple lattice tiles and Riesz bases of exponentials, Proc. Amer. Math. Soc. 143 (2015), 741-747.
 *  N. Lev, M. Matolcsi, The Fuglede conjecture for convex domains is true in all dimensions, Acta Mathematica 228 (2022), no. 2, 385-420.
 *  T. Tao, Fuglede’s conjecture is false in 5 and higher dimensions. Math. Res. Lett. 11 (2004), no. 2–3, 251-258.

A polinom-módszer, főleg a Noga Alon féle Combinatorial Nullstellensatz és általánosításai és ezek alkamazásai kombinatorikai problémák megoldásában.

 *  N. Alon: Combinatorial Nullstellensatz
 *  S. Ball, O. Serra: Punctured Combinatorial Nullstellensätze
 *  G. Kós, L. Rónyai: Alon's Nullstellensatz for multisets

Van-e megfelelője az euklideszi geometriából jól ismert tételeknek (húrnégyszögtétel, pont körre vonatkozó hatványa, projektív tételek, Monge-féle három kör tétel stb.) hiperbolikus és gömbi geometriálban?

 *  Reimann: A geometria és határterületei
 *  Coxeter: A geometriák alapjai
 *  Akopjan: On some classical constructions extended to hyperbolic geometry

Függvényeket pozitív egész számszor szoktunk differenciálni vagy integrálni. Ki lehet-e terjeszteni ezt az operációt nem egész indexekre, vagy éppen komplex számokra?

 *  a \(\displaystyle \Gamma\)-függvényről szóló könyvfejezetek, jegyzetek
 *  a Fourier- és Laplace-transzformáltról szóló könyvfejezetek, jegyzetek

Olyan becslések vizsgálata, amelyben különböző, az együtthatókra vagy a gyökökre vonatkozó megkötések mellett a polinom vagy deriváltja értékeinek vagy gyökeinek eloszlását vizsgáljuk. (Pl. ha egy \(\displaystyle n\)-edfokú polinomnak minden együtthatója \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 0\) vagy \(\displaystyle -1\), akkor legfeljebb hányszoros gyöke lehet az \(\displaystyle 1\)?)

Peter Borwein és Erdélyi Tamás cikkei

A dolgozat célja a prímszámtétel és a Dirichlet-tétel komplex függvénytani bizonyításainak megértése, feldolgozása.

 *  Edmund Landau, Handbuch Der Lehre Von Der Verteilung Der Primzahlen
 *  Karl Prachar, Primzahlverteilung
 *  Tom Apostol, Introduction to Analytic Number Theory

Az egészfüggvényekre vonatkozó tételek, módszerek egy része elmondható az egységkörben értelmezett függvényekre. Például a polinomoknak megfellenek a véges Blaschke-szorzatok, az egységkörben is van Gauss-Lucas tétel stb.

A Banach--Tarski paradoxon és tvábbi átdarbolási tételek feldolgozása

Egyik legegyszerűbb módszer egy polinom egy gyökét (vagy általánosabban függvény zérushelyét) Newton iterációval keresni. A szakdolgozatban konkrét példák kiszámolása illetve elemzése történik; mind a valós, mind a komplex Newton iterációt megvizsgáljuk. A dolgozat írójának jártasnak kell lennie Matlab vagy más matematikai program alkalmazásában.

• J. Milnor: Dynamics in one complex variable

Konkrétan megadott példák esetén a definiált fizikai mennyiségeket kiszámolni, vagy kutatómunkát végezni.

• Halász Gábor: Kis hidrodinamika, kézirat.

Gyakorló feladatok összegyűjtése, mintamegoldások és megoldási tippek írása a Komplex függvénytan gyakorlatokon szerepelt témák valamelyikéhez.

• Halász Gábor: Bevezető komplex függvénytan

Milnor:Dynamics in One Complex Variable c. könyvében levő feladatok megoldása, és a hozzájuk tartozó elmélet leírása

• Milnor: Dynamics in One Complex Variable

A fonat csoport rendkívül sok helyen bukkan fel. (Algebra, csomóelmélet, Riemann felületek). A szakdolgozat e gazdag témakör valamely részének feldolgozása, összefoglalása, esetleg önálló eredmény leírása.

• Hansen: Braids and Coverings: Selected Topics (London Mathematical Society Student Texts)

Milnor:Dynamics in One Complex Variable c. könyvében levő feladatok megoldása, és a hozzájuk tartozó elmélet leírása

• Milnor: Dynamics in One Complex Variable

A kvázikonform leképezések klasszikus alkalmazásainak egyikét kell színvonalasan, jól érthetően leírni.

• Lars V. Ahlfors: Quasiconformal mappings.

Ismerkedés a többdimenziós komplex analízis és geometria néha szokatlan világával. A szakdolgozat célja: könyvfejezet, ill. cikkek feldolgozása. Előismeret a többváltozós komplex függvénytanban nem szükséges.

A választott konkrét témától függően angol nyelvű könyvfejezet, cikkek.

Egy holomorf függvény Schwarz deriváltja egy nemlineáris kifejezés a harmadrendű deriváltak között. Eredetileg a klasszikus komplex függvénytanban, konform leképezések kapcsán bukkant fel, de születése óta a matematika számos egyéb területén jelent meg váratlanul (differenciálegyenletek, dinamikus rendszerek, integrálható rendszerek, Riemann metrikák görbülete) stb. A feladat: a témához kapcsolódó, a diákot érdeklő angol nyelvű cikkek feldolgozása. Ízelítőül szolgál az alábbi cikk.

 *  ... V. Ovsienko S. Tabachnikov:What is....the Schwarzian derivative, AMS Notices, 56, (1), 2009, 34-36

1.A. Páratlan dimenziós euklideszi térbe immertált 1 kodimenziós sokaság főgörbületeinek szorzatát integrálva az Euler karakterisztika konstansszorosát kapjuk. Ez a Gauss Bonnet tétel álatlánosítása immerzióból előálló metrikákra. A bizonyítás topológiai (Morse elméletet, ill. a Poincaré - Hopf tételt használja).

1.B. De Rham tétel. A karakterisztikus osztályok megadása differenciálformákkal. Ezek integráljai topologikus invariánsok, ezek mind a Gauss-Bonnet tétel általánosításai.

• Bott-Tu. Differential forms in algebraic topology
• Milnor- Stasheff: Characteristic classes. Appendix C

A vektornyalábok egy extraordináris kohomológiaelméletet határoznak meg, a K-elméletet, ennek kohomologikus operációi lesznek a fenti funktorok. Alkalmazások a Hopf invariáns 1 problémára és a gömbökön megadható maximális számú vektormező kérdésére.

• Atiyah M.F: K-theory and the Hopf invariant. Quart.J Math. 1966. 17. N. 65, 31-38.
• Husemoller D. : Fibre Bundles. Chapter 15.

1. A spektrális sorozat

2. Atiyah - Hirzebruch spektrális sorozat.

3. Serre spektrális sorozata. Mod C eredmények a homotopikus csoportokról.

4. Adams spektrális sorozat.

1. Immerziók kobordizmusai

2. Szinguláris leképezések kobordizmusai.

A homológiaelméletek az algebrai topológia egyik legeredményesebb eszközét adják, felépítésük viszont eltávolít attól a természetes geometriai képtől -- ahol a reprezentáló objektumok sokaságok formális lineáris kombinációi --, amit a szinguláris bordizmusok extraordinális homológiaelmélete fogalmaz meg rigorózusan. A szakdolgozó feladata a bordizmusok és a homológiák felépítésének és kapcsolatának feldolgozása Conner és Floyd klasszikus könyvének alapján, az alkalmazott módszerek bemutatásával.

A. Hatcher: Algebraic Topology

P.E. Conner, E.E. Floyd: Differentiable periodic maps

A moduláris formák a hiperbolikus (Bolyai-Lobacsevszkij) sík speciális szimmetria csoportjaira nézve invariáns függvények. Ezen függvények elmélete a számelmélet, geometria, reprezentáció elmélet, parciális differenciál egyenletek határterületén helyezkedik el, de legerősebb a számelméleti jelleg.

A projekt célja nagyobb rálátás megszerzése ezen formákra és általánosításaikra, numerikus módszerek segítségével.

Személyes megbeszélés alapján

Két térbeli csomó hurkolódási számára a körülfordulási számhoz hasonlóan analitikus kifejezés adható. Ezt először Gauss (1832) és Maxwell (1867) adta meg. A formula kiterjeszthető az egységgömbre, a hiperbolikus térre. A projekt célja a kiterjesztés a többi Thurston féle modell geometriára, elsősorban az \(\displaystyle \tilde{SL}_2\) típusra.

• DeTurck, Dennis, and Herman Gluck: Electrodynamics and the Gauss linking integral on the 3-sphere and in hyperbolic 3-space. Journal of Mathematical Physics 49.2 (2008): 023504.

Az exponenciális összegek (klasszikusan trigonometrikus összegek) aritmetikailag meghatározott komplex számok összegei. Maga Gauss volt az első aki észrevette, hogy ezek úgy viselkednek mint véletlen síkbeli vektorok összegei, és az összeg lényegesen kisebb a tagok számánál. Az elmélet kiterjesztése Artin, Weil és Deligne nevéhez fűződik. Ezek a becslések nagyon fontos szerepet játszanak a számelméletben.

A konkrét feladat magasabb rangú moduláris formák elméletében megjelenő exponenciális összegek becslése. Ez kapcsolódik mind a Lie csoportok, mind az algebrai geometria területéhez.

Személyes megbeszélés alapján

Legyen \(F\) egy véges test. Az \(F[t]\) polinomgyűrű nagyon sok hasonlós got mutat az egész számok gyűrűjével, és számos klasszikus számelméleti feladat megfogalmazható ebben a gyűrűben is, gyakran a hagyományos kérdéssel szemben meg is oldhatók. A szakdolgozatban ilyen feladatokkal kapcsolatos irodalom feldolgozása a cél.

 *  Rosen Number theory in function fields

A Laplace operátor egy Riemann felület speciális másodrendű differenciáloperátora, ami a hagyományos síkbeli Laplace operátort általánosítja. A Laplace operátor spektruma és a Riemann sokaság geometriai tulajdonságai között szoros kapcsolat áll fenn. A szakdolgozat célja a témával kapcsolatos irodalom feldolgozása.

 *  Személyes megbeszélés alapján.

Az elliptikus görbék elmélete rendkívül gazdag, a geometria, algebra, analízis eszközeit is használja. Az elmélet számelméleti szempontból is fontos kutatási terület, Diophantuszig visszanyúló hagyományokkal. A szakdolgozat ehhez a témakörhöz kapcsolódó irodalom feldolgozása a cél. A konkrét kérdések a klasszikus matematikatörténetileg érdekes feladatoktól a modern, gyakran nyitott problémákig széles választékot nyújtanak.

 *  Személyes megbeszélés szerint.